Pour ceux qui cherchent un réciproque à B-W : Une suite est bornée si et seulement si de chacune de ses sous-suites on peut extraire une sous-suite convergente (la suite étant à valeurs dans un compact quelconque).
Preuve :
CN -> Résulte de Bolzano-Weierstrass
CS -> Si la suite n'est pas bornée, il existe une sous-suite dont la norme tend vers +infini, et dont on ne peut donc pas extraire de sous-suite convergente (cette preuve se généralise facilement aux espaces métriques, pas la peine de m'embêter à cause du fait que j'ai supposé l'espace normé...).
Voilà, donc, la prochaine fois, dites :
"J'extrais une sous-suite convergente de toute sous-suite de mon prof".
Vous pouvez même gagner en simplicité tout en faisant d'une pierre deux coups en disant :
"Ce prof est vraiment un compact !"
Il n'est alors pas seulement borné, mais il est même fermé (d'esprit) ! (La réciproque n'étant vraie que dans un espace vectoriel normé de dimension finie)
Commentaires de Jio15
😁 Théorème de Bolzano-Weierstrass
NightWolf: ça veut dire qu'il est borné
Preuve :
CN -> Résulte de Bolzano-Weierstrass
CS -> Si la suite n'est pas bornée, il existe une sous-suite dont la norme tend vers +infini, et dont on ne peut donc pas extraire de sous-suite convergente (cette preuve se généralise facilement aux espaces métriques, pas la peine de m'embêter à cause du fait que j'ai supposé l'espace normé...).
Voilà, donc, la prochaine fois, dites :
"J'extrais une sous-suite convergente de toute sous-suite de mon prof".
Vous pouvez même gagner en simplicité tout en faisant d'une pierre deux coups en disant :
"Ce prof est vraiment un compact !"
Il n'est alors pas seulement borné, mais il est même fermé (d'esprit) ! (La réciproque n'étant vraie que dans un espace vectoriel normé de dimension finie)